Корреляционный анализ.
Copyright © Semestr.RU

Уравнение парной регрессии.
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε
Система нормальных уравнений.
a•n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y•x
Для наших данных система уравнений имеет вид
14a + 518 b = 2324
518 a + 19406 b  = 86359
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 1.55, a = 108.8
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
y = 1.55 x + 108.8
Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

1.1. Коэффициент корреляции
Ковариация.

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 1.55 x  + 108.8
1.3. Коэффициент эластичности.
Коэффициент эластичности находится по формуле:

1.4. Ошибка аппроксимации.

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

1.5. Эмпирическое корреляционное отношение.
Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

где

Индекс корреляции.
Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэфииценту корреляции rxy = 44.2769.
Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

1.6. Коэффициент детерминации.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R2= 44.27692 = 1960.4479
Для расчета параметров линейной регрессии построим расчетную таблицу (табл.)

x	y	x2	y2	x • y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y	
35	162	1225	26244	5670	162.91	16	0.83	4	0.005607	
40	174	1600	30276	6960	170.64	64	11.31	9	0.0193	
30	155	900	24025	4650	155.18	121	0.0321	49	0.001156	
42	172	1764	29584	7224	173.73	36	2.99	25	0.0101	
37	173	1369	29929	6401	166	49	49	0	0.0405	
38	166	1444	27556	6308	167.55	0	2.39	1	0.009312	
34	162	1156	26244	5508	161.36	16	0.41	9	0.003935	
33	160	1089	25600	5280	159.82	36	0.0336	16	0.001146	
36	167	1296	27889	6012	164.45	1	6.48	1	0.0152	
31	153	961	23409	4743	156.73	169	13.88	36	0.0243	
36	163	1296	26569	5868	164.45	9	2.11	1	0.008921	
43	173	1849	29929	7439	175.27	49	5.18	36	0.0132	
39	168	1521	28224	6552	169.09	4	1.19	4	0.006498	
44	176	1936	30976	7744	176.82	100	0.67	49	0.004664	
518	2324	19406	386454	86359	2324	670	96.5	240	0.16	

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S2y = 8.04 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

Sy = 2.84 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
Sa - стандартное отклонение случайной величины a.

Sb - стандартное отклонение случайной величины b.

2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
2) F-статистика. Критерий Фишера.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=12, Fтабл = 4.75

Все вычисления и комментарии к полученным результатам доступны в расширенном режиме. Также приводится проверка на наличие автокорреляции и гетероскедастичности.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Уравнение парной линейной регрессии
Вместе с этой задачей решают также:
Уравнение множественной регрессии
Выявление тренда методом аналитического выравнивания
Показатели вариации
Показатели динамики