Параметры уравнения регрессииУравнение парной линейной регрессии56Коэффициент корреляции. Статическая надежность регрессионного моделирования с помощью F- критерия Фишера и с помощью t-критерия Стьюдентаhttp://math.semestr.ru/corel/corel.php56202112-12-31T21:00:00Z2012-08-01T08:15:00Z2012-08-01T08:15:00Z38494845ISTU4011568311.5604Корреляционный анализ.Copyright © Semestr.RUУравнение парной регрессии.На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + εСистема нормальных уравнений.a•n + b∑x = ∑ya∑x + b∑x2 = ∑y•xДля наших данных система уравнений имеет вид14a + 518 b = 2324518 a + 19406 b = 86359Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 1.55, a = 108.8Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):y = 1.55 x + 108.8Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.1. Параметры уравнения регрессии.Выборочные средние.EQ \x\to(x) = \f(∑xi;n) = \f(518;14) = 37EQ \x\to(y) = \f(∑yi;n) = \f(2324;14) = 166EQ \x\to(xy) = \f(∑xiyi;n) = \f(86359;14) = 6168.5Выборочные дисперсии:EQ S2(x) = \f(∑x2i;n) - \x\to(x)2 = \f(19406;14) - 372 = 17.14EQ S2(y) = \f(∑y2i;n) - \x\to(y)2 = \f(386454;14) - 1662 = 47.86Среднеквадратическое отклонениеEQ S(x) = \r(S2(x)) = \r(17.14) = 4.14EQ S(y) = \r(S2(y)) = \r(47.86) = 6.921.1. Коэффициент корреляцииКовариация.EQ cov(x,y) = \x\to(x • y) - \x\to(x) • \x\to(y) = 6168.5 - 37 • 166 = 26.5Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:EQ rxy = \f(\x\to(x • y) -\x\to(x) • \x\to(y) ;S(x) • S(y)) = \f(6168.5 - 37 • 166;4.14 • 6.92) = 44.27691.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).EQ yx = rxy \f(x - \x\to(x);S(x)) S(y) + \x\to(y) = 44.2769 \f(x - 37;4.14) 6.92 + 166 = 1.55x + 108.8Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 1.55 x + 108.81.3. Коэффициент эластичности.Коэффициент эластичности находится по формуле:EQ E = \f(∂y;∂x) \f(x;y) = b\f(\x\to(x);\x\to(y))EQ E = 1.55\f(37;166) = 0.341.4. Ошибка аппроксимации.EQ \x\to(A) = \f( ∑|y \s\do4(i) - y \s\do4(x)| : y \s\do4(i);n)100%Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.EQ \x\to(A) = \f(0.16;14) 100% = 1.17%1.5. Эмпирическое корреляционное отношение.Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].EQ η = \r(\f(∑(\x\to(y) - yx)2; ∑(yi - \x\to(y))2) )EQ η = \r(\f(573.5;670)) = 0.93гдеEQ (\x\to(y) - yx)2 = 670 - 96.5 = 573.5Индекс корреляции.Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэфииценту корреляции rxy = 44.2769.Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:EQ R = \r(1 - \f(∑(yi - yx)2; ∑(yi - \x\to(y))2) )1.6. Коэффициент детерминации.Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.R2= 44.27692 = 1960.4479Для расчета параметров линейной регрессии построим расчетную таблицу (табл.)xyx2y2x • yy(x)(yi-ycp)2(y-y(x))2(xi-xcp)2|y - yx|:y351621225262445670162.91160.8340.005607401741600302766960170.646411.3190.019330155900240254650155.181210.0321490.001156421721764295847224173.73362.99250.0101371731369299296401166494900.0405381661444275566308167.5502.3910.009312341621156262445508161.36160.4190.003935331601089256005280159.82360.0336160.001146361671296278896012164.4516.4810.015231153961234094743156.7316913.88360.0243361631296265695868164.4592.1110.008921431731849299297439175.27495.18360.0132391681521282246552169.0941.1940.006498441761936309767744176.821000.67490.00466451823241940638645486359232467096.52400.162. Оценка параметров уравнения регрессии.2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:EQ S\s\up4(2)y = \f(∑(y\s\do4(i) - y\s\do4(x))2;n - m - 1)EQ S\s\up4(2)y = \f(96.5;12) = 8.04S2y = 8.04 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).EQ Sy = \r(S2 y ) = \r(8.04) = 2.84Sy = 2.84 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).Sa - стандартное отклонение случайной величины a.EQ Sa = Sy \f( \r( ∑x2);n S(x))EQ Sa = 2.84 \f( \r(19406);14 • 4.14) = 6.81Sb - стандартное отклонение случайной величины b.EQ Sb = \f( Sy; \r(n) S(x))EQ Sb = \f( 2.84; \r(14) • 4.14) = 0.182.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.2) F-статистика. Критерий Фишера.EQ R2 = 1 - \f(∑(yi - yx)2; ∑(yi - \x\to(y))2) = 1 - \f(96.5;670) = 0.86EQ F = \f(R2;1 - R2)\f((n - m -1);m)EQ F = \f(0.86 2;1 - 0.86 2)\f((14-1-1);1) = 71.32Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=12, Fтабл = 4.75Все вычисления и комментарии к полученным результатам доступны в расширенном режиме. Также приводится проверка на наличие автокорреляции и гетероскедастичности.Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:Уравнение парной линейной регрессииВместе с этой задачей решают также:Уравнение множественной регрессииВыявление тренда методом аналитического выравниванияПоказатели вариацииПоказатели динамики