Пример построения аддитивной модели

Задание. На основе данных, скорректированных на инфляцию, о прибыли компании за 12 кварталов (табл.) построить аддитивную модель тренда и сезонности для прогнозирования прибыли компании на следующие два квартала. Дать общую характеристику точности модели и сделать выводы.
Решение проводим с помощью калькулятора.
Построение аддитивной модели временного ряда.
Общий вид аддитивной модели следующий:
Y = T + S + E
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.
Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
1.1. Найдем скользящие средние (гр. 3 таблицы). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
1.2. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 4 табл.).

t yt Скользящая средняя Центрированная скользящая средняя Оценка сезонной компоненты
1 160 - - -
2 130 153.5 - -
3 159 152.5 153 6
4 165 155.25 153.88 11.13
5 156 154.75 155 1
6 141 156.5 155.63 -14.63
7 157 156.75 156.63 0.38
8 172 157.75 157.25 14.75
9 157 159.25 158.5 -1.5
10 145 160.5 159.88 -14.88
11 163 - - -
12 177 - - -

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 5 табл.). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Показатели 1 2 3 4
1 - - 6 11.13
2 1 -14.63 0.38 14.75
3 -1.5 -14.88 - -
Всего за период -0.5 -29.5 6.38 25.88
Средняя оценка сезонной компоненты -0.25 -14.75 3.19 12.94
Скорректированная сезонная компонента, Si -0.53 -15.03 2.91 12.66

Для данной модели имеем:
-0.25 -14.75 + 3.188 + 12.938 = 1.125
Корректирующий коэффициент: k=1.125/4 = 0.281
Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты Si и заносим полученные данные в таблицу.
Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины T + E = Y - S (гр. 4 табл.). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
a0n + a1∑t = ∑y
a0∑t + a1∑t2 = ∑y•t
Для наших данных система уравнений имеет вид:
12a0 + 78a1 = 1882
78a0 + 650a1 = 12351.75
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = 0.83, a1 = 151.44
Среднее значения
y = 1882/12 = 156.83
t y t2 y2 t•y y(t) (y-ycp)2 (y-y(t))2
1 160.53 1 25770.28 160.53 152.27 13.67 68.31
2 145.03 4 21034.06 290.06 153.1 139.29 65.05
3 156.09 9 24365.26 468.28 153.93 0.55 4.7
4 152.34 16 23208.62 609.38 154.76 20.16 5.83
5 156.53 25 24502.03 782.66 155.59 0.0912 0.89
6 156.03 36 24345.75 936.19 156.42 0.64 0.15
7 154.09 49 23744.88 1078.66 157.25 7.51 9.95
8 159.34 64 25390.43 1274.75 158.08 6.3 1.6
9 157.53 81 24816.09 1417.78 158.91 0.49 1.9
10 160.03 100 25610 1600.31 159.74 10.23 0.0849
11 160.09 121 25630.01 1761.03 160.57 10.63 0.23
12 164.34 144 27008.87 1972.13 161.4 56.41 8.66
78 1882 650 295426.29 12351.75 1882 265.96 167.35

Шаг 4. Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (T + E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:
T = 151.436 + 0.83t
Подставляя в это уравнение значения t = 1,...,12, найдем уровни T для каждого момента времени (гр. 5 табл.).

t yt Si yt - Si T T + Si E = yt - (T + Si) E2
1 160 -0.53 160.53 152.27 151.73 8.27 68.31
2 130 -15.03 145.03 153.1 138.07 -8.07 65.05
3 159 2.91 156.09 153.93 156.83 2.17 4.7
4 165 12.66 152.34 154.76 167.41 -2.41 5.83
5 156 -0.53 156.53 155.59 155.06 0.94 0.89
6 141 -15.03 156.03 156.42 141.39 -0.39 0.15
7 157 2.91 154.09 157.25 160.15 -3.15 9.95
8 172 12.66 159.34 158.08 170.74 1.26 1.6
9 157 -0.53 157.53 158.91 158.38 -1.38 1.9
10 145 -15.03 160.03 159.74 144.71 0.29 0.0849
11 163 2.91 160.09 160.57 163.48 -0.48 0.23
12 177 12.66 164.34 161.4 174.06 2.94 8.66

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (гр. 6 табл.).
Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.
R2 = 1 - ∑E2/∑(y_t - yср)2)
Среднее значения
y = 1882/12 = 156.83
t y (y-ycp)2
1 160 10.03
2 130 720.03
3 159 4.69
4 165 66.69
5 156 0.69
6 141 250.69
7 157 0.0277
8 172 230.03
9 157 0.0277
10 145 140.03
11 163 38.03
12 177 406.69
78 1882 650


R2 = 1 - 167.347/1867.666 = 0.91
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 91% общей вариации уровней временного ряда.
Проверка адекватности модели данным наблюдения.
F = R2/(1 - R2)(n - m -1) = 0.912/(1 - 0.912)(12-1-1) = 101.6
где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).
Fkp = 4.96
Поскольку F > Fkp, то уравнение статистически значимо
Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:T = 151.436 + 0.83t
Получим
T13 = 151.436 + 0.83*13 = 162.231
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S1 = -0.531
Таким образом, F13 = T13 + S1 = 162.231 -0.531 = 161.7
T14 = 151.436 + 0.83*14 = 163.061
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S2 = -15.031
Таким образом, F14 = T14 + S2 = 163.061 -15.031 = 148.03
T15 = 151.436 + 0.83*15 = 163.892
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S3 = 2.906
Таким образом, F15 = T15 + S3 = 163.892 + 2.906 = 166.798
T16 = 151.436 + 0.83*16 = 164.722
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S4 = 12.656
Таким образом, F16 = T16 + S4 = 164.722 + 12.656 = 177.379

Пример. На основе поквартальных данных построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за первые три квартала равны: 7 — I квартал, 9 — II квартал и –11 — III квартал. Определите значение сезонной компоненты за IV квартал.
Решение. Поскольку сезонные воздействия за период (4 квартала) взаимопогашаются, то имеем равенство: s1 + s2 + s3 + s4 = 4. Для наших данных: s4 = 4 - 7 - 9 – (-11) = -1. Ответ: Сезонная компонента за IV квартал равна -1.

Открыть диалог Discus Помощь в решении