Пример построения аддитивной модели
Задание. На основе данных, скорректированных на инфляцию, о прибыли компании за 12 кварталов (табл.) построить аддитивную модель тренда и сезонности для прогнозирования прибыли компании на следующие два квартала. Дать общую характеристику точности модели и сделать выводы.
Решение проводим с помощью калькулятора.
Построение аддитивной модели временного ряда.
Общий вид аддитивной модели следующий:
Y = T + S + E
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.
Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
1.1. Найдем скользящие средние (гр. 3 таблицы). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
1.2. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 4 табл.).
Построение аддитивной модели временного ряда.
Общий вид аддитивной модели следующий:
Y = T + S + E
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.
Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
1.1. Найдем скользящие средние (гр. 3 таблицы). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
1.2. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 4 табл.).
| t | yt | Скользящая средняя | Центрированная скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты |
| 1 | 160 | - | - | - |
| 2 | 130 | 153.5 | - | - |
| 3 | 159 | 152.5 | 153 | 6 |
| 4 | 165 | 155.25 | 153.88 | 11.13 |
| 5 | 156 | 154.75 | 155 | 1 |
| 6 | 141 | 156.5 | 155.63 | -14.63 |
| 7 | 157 | 156.75 | 156.63 | 0.38 |
| 8 | 172 | 157.75 | 157.25 | 14.75 |
| 9 | 157 | 159.25 | 158.5 | -1.5 |
| 10 | 145 | 160.5 | 159.88 | -14.88 |
| 11 | 163 | - | - | - |
| 12 | 177 | - | - | - |
| Показатели | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | - | - | 6 | 11.13 |
| 2 | 1 | -14.63 | 0.38 | 14.75 |
| 3 | -1.5 | -14.88 | - | - |
| Всего за период | -0.5 | -29.5 | 6.38 | 25.88 |
| Средняя оценка сезонной компоненты | -0.25 | -14.75 | 3.19 | 12.94 |
| Скорректированная сезонная компонента, Si | -0.53 | -15.03 | 2.91 | 12.66 |
-0.25 -14.75 + 3.188 + 12.938 = 1.125
Корректирующий коэффициент: k=1.125/4 = 0.281
Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты Si и заносим полученные данные в таблицу.
Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины T + E = Y - S (гр. 4 табл.). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
a0n + a1∑t = ∑y
a0∑t + a1∑t2 = ∑y•t
Для наших данных система уравнений имеет вид:
12a0 + 78a1 = 1882
78a0 + 650a1 = 12351.75
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = 0.83, a1 = 151.44
Среднее значения
y = 1882/12 = 156.83
| t | y | t2 | y2 | t•y | y(t) | (y-ycp)2 | (y-y(t))2 |
| 1 | 160.53 | 1 | 25770.28 | 160.53 | 152.27 | 13.67 | 68.31 |
| 2 | 145.03 | 4 | 21034.06 | 290.06 | 153.1 | 139.29 | 65.05 |
| 3 | 156.09 | 9 | 24365.26 | 468.28 | 153.93 | 0.55 | 4.7 |
| 4 | 152.34 | 16 | 23208.62 | 609.38 | 154.76 | 20.16 | 5.83 |
| 5 | 156.53 | 25 | 24502.03 | 782.66 | 155.59 | 0.0912 | 0.89 |
| 6 | 156.03 | 36 | 24345.75 | 936.19 | 156.42 | 0.64 | 0.15 |
| 7 | 154.09 | 49 | 23744.88 | 1078.66 | 157.25 | 7.51 | 9.95 |
| 8 | 159.34 | 64 | 25390.43 | 1274.75 | 158.08 | 6.3 | 1.6 |
| 9 | 157.53 | 81 | 24816.09 | 1417.78 | 158.91 | 0.49 | 1.9 |
| 10 | 160.03 | 100 | 25610 | 1600.31 | 159.74 | 10.23 | 0.0849 |
| 11 | 160.09 | 121 | 25630.01 | 1761.03 | 160.57 | 10.63 | 0.23 |
| 12 | 164.34 | 144 | 27008.87 | 1972.13 | 161.4 | 56.41 | 8.66 |
| 78 | 1882 | 650 | 295426.29 | 12351.75 | 1882 | 265.96 | 167.35 |
Шаг 4. Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (T + E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:
T = 151.436 + 0.83t
Подставляя в это уравнение значения t = 1,...,12, найдем уровни T для каждого момента времени (гр. 5 табл.).
| t | yt | Si | yt - Si | T | T + Si | E = yt - (T + Si) | E2 |
| 1 | 160 | -0.53 | 160.53 | 152.27 | 151.73 | 8.27 | 68.31 |
| 2 | 130 | -15.03 | 145.03 | 153.1 | 138.07 | -8.07 | 65.05 |
| 3 | 159 | 2.91 | 156.09 | 153.93 | 156.83 | 2.17 | 4.7 |
| 4 | 165 | 12.66 | 152.34 | 154.76 | 167.41 | -2.41 | 5.83 |
| 5 | 156 | -0.53 | 156.53 | 155.59 | 155.06 | 0.94 | 0.89 |
| 6 | 141 | -15.03 | 156.03 | 156.42 | 141.39 | -0.39 | 0.15 |
| 7 | 157 | 2.91 | 154.09 | 157.25 | 160.15 | -3.15 | 9.95 |
| 8 | 172 | 12.66 | 159.34 | 158.08 | 170.74 | 1.26 | 1.6 |
| 9 | 157 | -0.53 | 157.53 | 158.91 | 158.38 | -1.38 | 1.9 |
| 10 | 145 | -15.03 | 160.03 | 159.74 | 144.71 | 0.29 | 0.0849 |
| 11 | 163 | 2.91 | 160.09 | 160.57 | 163.48 | -0.48 | 0.23 |
| 12 | 177 | 12.66 | 164.34 | 161.4 | 174.06 | 2.94 | 8.66 |
Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (гр. 6 табл.).
Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.
R2 = 1 - ∑E2/∑(y_t - yср)2)
Среднее значения
y = 1882/12 = 156.83
| t | y | (y-ycp)2 |
| 1 | 160 | 10.03 |
| 2 | 130 | 720.03 |
| 3 | 159 | 4.69 |
| 4 | 165 | 66.69 |
| 5 | 156 | 0.69 |
| 6 | 141 | 250.69 |
| 7 | 157 | 0.0277 |
| 8 | 172 | 230.03 |
| 9 | 157 | 0.0277 |
| 10 | 145 | 140.03 |
| 11 | 163 | 38.03 |
| 12 | 177 | 406.69 |
| 78 | 1882 | 650 |
R2 = 1 - 167.347/1867.666 = 0.91
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 91% общей вариации уровней временного ряда.
Проверка адекватности модели данным наблюдения.
F = R2/(1 - R2)(n - m -1) = 0.912/(1 - 0.912)(12-1-1) = 101.6
где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).
Fkp = 4.96
Поскольку F > Fkp, то уравнение статистически значимо
Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:T = 151.436 + 0.83t
Получим
T13 = 151.436 + 0.83*13 = 162.231
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S1 = -0.531
Таким образом, F13 = T13 + S1 = 162.231 -0.531 = 161.7
T14 = 151.436 + 0.83*14 = 163.061
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S2 = -15.031
Таким образом, F14 = T14 + S2 = 163.061 -15.031 = 148.03
T15 = 151.436 + 0.83*15 = 163.892
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S3 = 2.906
Таким образом, F15 = T15 + S3 = 163.892 + 2.906 = 166.798
T16 = 151.436 + 0.83*16 = 164.722
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S4 = 12.656
Таким образом, F16 = T16 + S4 = 164.722 + 12.656 = 177.379
Пример. На основе поквартальных данных построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за первые три квартала равны: 7 — I квартал, 9 — II квартал и –11 — III квартал. Определите значение сезонной компоненты за IV квартал.
Решение. Поскольку сезонные воздействия за период (4 квартала) взаимопогашаются, то имеем равенство: s1 + s2 + s3 + s4 = 4. Для наших данных: s4 = 4 - 7 - 9 – (-11) = -1.
Ответ: Сезонная компонента за IV квартал равна -1.