Модель взаимозачета долгов предприятий

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Поясним суть проблемы на примере для системы из трех предприятий, каждое из которых имеет свободные средства, равные условно одной финансовой единице, и основные фонды, равные 10 единицам. Пусть первое предприятие должно второму 100 единиц, второе должно третьему 100 единиц, и, наконец, третье первому также 100 единиц. Суммарный абсолютный долг предприятий равен 600 единицам и огромен в сравнении с их фондами 30 единиц), не говоря уже о свободных средствах C единицы). В то же время финансовое положение этой системы фактически благополучное, так как суммарный «долг» каждого предприятия в отдельности (т. е. сумма средств, которые предприятие должно другим, и другие должны ему) равен нулю. Очевидная процедура взаимозачета состоит в одномоментном аннулировании (погашении) всех долгов: объявляется, что
никто никому не должен, и партнеры продолжают свою работу, будучи свободными от долгового бремени. Централизованный кредит при этом, естественно, вообще не требуется.
Подобную операцию, произведенную «вручную», нельзя, конечно, реализовать для большого числа предприятий с огромным количеством финансовых обязательств. Требуются более глубокие подходы, для рассмотрения которых необходимо, прежде всего, формализовать задачу.
Итак, пусть экономическая система состоит из N предприятий, могущих иметь взаимные долги. Обозначим долги n-го предприятия m-му через x_nm, где n≥1, m≤N (x_nm<0, если первое предприятие должно второму, и x_nm>0 в обратном случае). Ясно, что x_nm=-x_mn, т. е. совокупность долгов описывается кососимметричной матрицей размера NxN с нулевой диагональю (x_nn=0, поскольку предприятие самому себе должно быть не может).
Сумма всех взаимных долгов вычисляется через индивидуальные
долги по простой формуле
, (7)
Величина (7) служит одной из интегральных количественных характеристик финансового положения системы: если она сопоставима с суммой всех свободных средств предприятий X₀, т. е.
, (8)
то описываемая неравенством (8) ситуация и означает кризис неплатежей (здесь x_n≥0 — индивидуальные свободные средства предприятий).
Еще одна важная характеристика — баланс кредитов и долгов (сальдо) каждого предприятия
, (9)
причем, как очевидно из (9), возможны варианты S_n>0, S_n<0, S_n=0. При S_n>0 предприятие является в некотором смысле кредитором предприятии-должников, т. е. тех, у кого S_n<0 (при S_n=0 предприятие в отношении долгов «нейтрально»). При |S_n|<x_n индивидуальное финансовое состояние предприятия по существу нормальное, поскольку его реальные суммарные долги (или кредиты, «данные» им другим) меньше его свободных средств.
Аналогично, суммарное абсолютное сальдо системы
, (10)
служит макропоказателем ее возможного финансового «здоровья». Если S<X₀, то свободных средств в системе больше, чем действительных долгов, и потенциально она может успешно функционировать (подобно системе трех предприятий из приведенного выше примера).
Между величинами X и S всегда существует определенное соотношение. Для любой произвольной матрицы долгов выполняется неравенство
X≥S, (11)
т.е. суммарный долг никак не может быть меньше суммарного сальдо.
Задача погашения взаимных долгов состоит в том, чтобы, зная матрицу x_nm, найти матрицу x'_nm «новых» долгов, для которой выполнялось бы X'<X. Очевидно, что идеальным ее решением было бы X'=S, т. е. когда неравенство (11) становится равенством. Заметим, что тогда для благополучной по существу системы с S≤X₀ достигалось бы соотношение X'=S≤X₀, и после взаимозачета она могла бы нормально работать (хотя уменьшение величины X в любом случае полезно).
При построении математической модели процедуры взаимозачета долгов последовательно используется ряд действий, аналогичных проводимым при исследовании естественнонаучных объектов. Первое из них — отказ на определенном этапе от детального рассмотрения множества индивидуальных долгов и соответствующих связей между предприятиями.

1. все долги x_nm известны и признаются предприятиями;
2. при проведении взаимозачета сальдо предприятий S_n остаются неизменными: S'_n=S₀, т. е. индивидуальное финансовое положение каждого из них в этом смысле не изменяется;
3. часть долгов x_nm списывается, а часть переадресовывается, т. е. у предприятий могут появиться новые должники и кредиторы и исчезнуть часть старых.

Источник. Математическое и компьютерное моделирование в учебных исследованиях.

Пример. Взаимные долги 6 предприятий представлены в таблице (в млн. руб.):

Решение. Первоначальные долги предприятий:
Сумма всех долгов: 2790
Сальдо каждого предприятия:
S₁ = ∑s₁ = -15
S₂ = ∑s₂ = 60
S₃ = ∑s₃ = -30
S₄ = ∑s₄ = 100
S₅ = ∑s₅ = -35
S₆ = ∑s₆ = -80
Суммарное абсолютное сальдо системы: ∑∑abs(s_ij) = 320
Баланс системы: 0
Полученные долги предприятий:
s₂₁ = (60 • abs(-15)-(-15) • abs(60))/320 = 5.625
s₃₁ = (-30 • abs(-15)-(-15) • abs(-30))/320 = 0
s₃₂ = (-30 • abs(60)-60 • abs(-30))/320 = -11.25
s₄₁ = (100 • abs(-15)-(-15) • abs(100))/320 = 9.375
s₄₂ = (100 • abs(60)-60 • abs(100))/320 = 0
s₄₃ = (100 • abs(-30)-(-30) • abs(100))/320 = 18.75
s₅₁ = (-35 • abs(-15)-(-15) • abs(-35))/320 = 0
s₅₂ = (-35 • abs(60)-60 • abs(-35))/320 = -13.125
s₅₃ = (-35 • abs(-30)-(-30) • abs(-35))/320 = 0
s₅₄ = (-35 • abs(100)-100 • abs(-35))/320 = -21.875
s₆₁ = (-80 • abs(-15)-(-15) • abs(-80))/320 = 0
s₆₂ = (-80 • abs(60)-60 • abs(-80))/320 = -30
s₆₃ = (-80 • abs(-30)-(-30) • abs(-80))/320 = 0
s₆₄ = (-80 • abs(100)-100 • abs(-80))/320 = -50
s₆₅ = (-80 • abs(-35)-(-35) • abs(-80))/320 = 0