Индексы с постоянными и переменными весами Метод анализа иерархий Средний уровень моментного ряда Модель взаимозачета долгов предприятий Выбор инвестиционных проектов Интегральный метод факторного анализа Баланс движения основных фондов Экономически активное население
Примеры решений Общий индекс цен Индекс сезонности Аддитивная модель ряда Мультипликативная модель Расчет ВВП Показатели динамики Группировка данных Доверительный интервал

Показатели эффективности производства на примере производственной функции Кобба–Дугласа

Производственные функции для реальных производственных систем оцениваются с помощью статистических методов обработки эмпирических данных. В дальнейшем будем считать, что для рассматриваемой экономической системы определён частный случай производственной функции – производственная функция Кобба – Дугласа, которая имеет вид
Y = C KαL1-α, (1)
где Y – произведённый продукт;
С – масштабный множитель;
К – затраты капитала;
L – затраты труда;
α – коэффициент эластичности выпуска по капиталу (0<α<1);
(1 –α) – эластичность выпуска по труду.
Рассмотрим основные показатели эффективности производства на примере производственной функции Кобба – Дугласа (1).
Введём понятие средней фондоотдачи Ayk, как отношение произведённого продукта к величине затраченного капитала:
Ayk= Y/K (2)

или (для производственной функции Кобба – Дугласа):
Ayk= C (L/K)1-α. (3)

Аналогично определим среднюю производительность труда:
Ayl= Y/L = C (K/L)α. (4)

Средняя фондоотдача это средний продукт капитала, который равен среднему количеству произведенного продукта единицей капитала, а средняя производительность труда это средний продукт труда, равный среднему количеству произведённого продукта единицей труда.
По аналогии предельный продукт капитала или предельная фондоотдача и предельный продукт труда или предельная производительность труда определяются как частные производные выпуска соответственно по капиталу и труду:
Мyk= ∂Y/∂K = αC Kα-1L1-α = αC (L/K)1-α (5)
Мyl= ∂Y/∂L = (1–α)C KαL = (1–α) C (K/L)α. (6)

Из (2) и (4) следует, что
Мyk= αAyk, (7)
Мyl= (1–α) Ayl. (8)

Предельный продукт фактора это дополнительный продукт, произведенный системой при затратах дополнительной единицы соответствующего фактора.
С учётом 0 <α< 1 видим, что предельный продукт всегда меньше среднего (закон убывающей эффективности факторов).
Как известно, эластичность выпуска по фактору определяет изменение производимого продукта, выраженное в процентах, при изменении затрат фактора на 1%. Эластичность выпуска по капиталу и труду определяется как отношение соответствующих предельных продуктов к средним продуктам (см. (7) и (8)):
α= Мyk/ Ayk, 1-α= Мyl/ Ayl. (9)

Введение коэффициентов эластичностей по факторам производства позволяет вычислить изменения выпуска производимого продукта и при одновременном изменении объёмов затрачиваемых факторов. Достигается это с помощью разложения производственной функции в ряд Тейлора (ограничиваясь только линейным приближением):
f(K+ΔK,L+ΔL) ≈f + ΔK + ΔL = Y + МykΔK + МylΔL,
причём значения производственной функции и предельных эффективностей в правой части равенства вычисляются в точке (K,L). Выражая предельные эффективности факторов через их средние эффективности и коэффициенты эластичности, получим
Y(K+ΔK,L+ΔL) ≈Y + α(Y/K)ΔK + (1–α) (Y/L)ΔL. (10)

Пример.
Пусть производственная система характеризуется производственной функцией Кобба – Дугласа (1). За период времени системой было произведено 100 единиц продукции при затратах 20 единиц труда и 40 единиц капитала. Известно, что α= 0,75.
1. Записать производственную функцию Кобба – Дугласа.
2. Сколько единиц продукта будет произведено системой при затратах 25 единиц труда и 50 единиц капитала?
3. Определить для данной производственной системы средние продукты труда и капитала, используя формулы (2), (3) и (4).
4. Определить предельные продукты труда и капитала, используя формулы (5) и (6). Прокомментировать результаты расчётов.
5. Проверить вычислениями точность равенства (10).

Решение.
1. Подставим в (1) исходные данные: 100 = С*400.75*200.25. После вычислений получим: 100 = С*33,64 или С = 100/33,64 = 2,973. Окончательно имеем: Y = 2,973 K0,75L0,25.
2. Подставим в полученное выражение для производственной функции новые данные: Y = 2,973*500,75*250,25= 125. Таким образом, системой при новых данных будет произведено 125 единиц продукта.
3. Подсчитаем средние продукты факторов, используя формулы (2), (3) и (4). Из (2) следует, что Ayk= 100/40 = 2,5. Из (3) следует Ayk= 2,973* (20/40)0,25= 2,5.
Из левого выражения (4) следует, что Ayl= 100/20 = 5. Правая часть этого выражения даёт: Ayl= 2,973*(40/20)0,75= 5.
Как видим, проверяемые равенства выполняются точно, если при вычислениях не производить округления.
4. Рассчитаем предельный продукт капитала: Мyk= αC (L/K)1-α= 0,75*2,973*(20/40)0,25= 1,875. Получили, что действительно, Мyk=αAyk(Мyk= 0,75*2,5 = 1,875).
Аналогично предельный продукт труда. Мyl= (1–α) C (K/L)α= 0,25*2,973*20,75= 1,25 или Мyl=(1-α) Ayl= 0,25*5 = 1,25.
Сравнивая средние и предельные продукты факторов, видим, что действительно, предельные продукты меньше средних, подтверждая тем самым закон убывающей эффективности факторов.
Средний продукт капитала, равный 2,5 означает, что в исследуемой экономической системе на единицу основных фондов приходится в среднем 2,5 единиц выпускаемого продукта, а предельный продукт капитала, равный 1,875, означает, что в исследуемой экономической системе на единицу прироста основных фондов приходится в среднем 1,875 единиц прироста выпуска продукта. Аналогично и по продукту труда.
5. Пусть левая часть выражения (10) – это выпуск продукта, подсчитанный в п. 2. Тогда ΔK = 10, а ΔL = 5. Подсчитаем правую часть выражения (10).
Y + α(Y/K)ΔK + (1-α) (Y/L)ΔL = 100 + 0,75*(100/40)*10 + 0,25* (100/20)*5 = 125. Как видим, равенство выполнено точно.

Дипломные работы
Консультации и помощь
Сроки от 3 дней

Подробнее