Показатели эффективности производства на примере производственной функции Кобба–Дугласа
Производственные функции для реальных производственных систем оцениваются с помощью статистических методов обработки эмпирических данных. В дальнейшем будем считать, что для рассматриваемой экономической системы определён частный случай производственной функции – производственная функция Кобба – Дугласа, которая имеет видС – масштабный множитель;
К – затраты капитала;
L – затраты труда;
α – коэффициент эластичности выпуска по капиталу (0<α<1);
(1 –α) – эластичность выпуска по труду.
Рассмотрим основные показатели эффективности производства на примере производственной функции Кобба – Дугласа (1).
Введём понятие средней фондоотдачи Ayk, как отношение произведённого продукта к величине затраченного капитала:
или (для производственной функции Кобба – Дугласа):
Аналогично определим среднюю производительность труда:
Средняя фондоотдача это средний продукт капитала, который равен среднему количеству произведенного продукта единицей капитала, а средняя производительность труда это средний продукт труда, равный среднему количеству произведённого продукта единицей труда.
По аналогии предельный продукт капитала или предельная фондоотдача и предельный продукт труда или предельная производительность труда определяются как частные производные выпуска соответственно по капиталу и труду:
Из (2) и (4) следует, что
Предельный продукт фактора это дополнительный продукт, произведенный системой при затратах дополнительной единицы соответствующего фактора.
С учётом 0 <α< 1 видим, что предельный продукт всегда меньше среднего (закон убывающей эффективности факторов).
Как известно, эластичность выпуска по фактору определяет изменение производимого продукта, выраженное в процентах, при изменении затрат фактора на 1%. Эластичность выпуска по капиталу и труду определяется как отношение соответствующих предельных продуктов к средним продуктам (см. (7) и (8)):
Введение коэффициентов эластичностей по факторам производства позволяет вычислить изменения выпуска производимого продукта и при одновременном изменении объёмов затрачиваемых факторов. Достигается это с помощью разложения производственной функции в ряд Тейлора (ограничиваясь только линейным приближением):
f(K+ΔK,L+ΔL) ≈f +
ΔK + 
ΔL = Y + МykΔK + МylΔL,
причём значения производственной функции и предельных эффективностей в правой части равенства вычисляются в точке (K,L). Выражая предельные эффективности факторов через их средние эффективности и коэффициенты эластичности, получим
Пример.
Пусть производственная система характеризуется производственной функцией Кобба – Дугласа (1). За период времени системой было произведено 100 единиц продукции при затратах 20 единиц труда и 40 единиц капитала. Известно, что α= 0,75.
1. Записать производственную функцию Кобба – Дугласа.
2. Сколько единиц продукта будет произведено системой при затратах 25 единиц труда и 50 единиц капитала?
3. Определить для данной производственной системы средние продукты труда и капитала, используя формулы (2), (3) и (4).
4. Определить предельные продукты труда и капитала, используя формулы (5) и (6). Прокомментировать результаты расчётов.
5. Проверить вычислениями точность равенства (10).
Решение.
1. Подставим в (1) исходные данные: 100 = С*400.75*200.25. После вычислений получим: 100 = С*33,64 или С = 100/33,64 = 2,973. Окончательно имеем: Y = 2,973 K0,75L0,25.
2. Подставим в полученное выражение для производственной функции новые данные: Y = 2,973*500,75*250,25= 125. Таким образом, системой при новых данных будет произведено 125 единиц продукта.
3. Подсчитаем средние продукты факторов, используя формулы (2), (3) и (4). Из (2) следует, что Ayk= 100/40 = 2,5. Из (3) следует Ayk= 2,973* (20/40)0,25= 2,5.
Из левого выражения (4) следует, что Ayl= 100/20 = 5. Правая часть этого выражения даёт: Ayl= 2,973*(40/20)0,75= 5.
Как видим, проверяемые равенства выполняются точно, если при вычислениях не производить округления.
4. Рассчитаем предельный продукт капитала: Мyk= αC (L/K)1-α= 0,75*2,973*(20/40)0,25= 1,875. Получили, что действительно, Мyk=αAyk(Мyk= 0,75*2,5 = 1,875).
Аналогично предельный продукт труда. Мyl= (1–α) C (K/L)α= 0,25*2,973*20,75= 1,25 или Мyl=(1-α) Ayl= 0,25*5 = 1,25.
Сравнивая средние и предельные продукты факторов, видим, что действительно, предельные продукты меньше средних, подтверждая тем самым закон убывающей эффективности факторов.
Средний продукт капитала, равный 2,5 означает, что в исследуемой экономической системе на единицу основных фондов приходится в среднем 2,5 единиц выпускаемого продукта, а предельный продукт капитала, равный 1,875, означает, что в исследуемой экономической системе на единицу прироста основных фондов приходится в среднем 1,875 единиц прироста выпуска продукта. Аналогично и по продукту труда.
5. Пусть левая часть выражения (10) – это выпуск продукта, подсчитанный в п. 2. Тогда ΔK = 10, а ΔL = 5. Подсчитаем правую часть выражения (10).
Y + α(Y/K)ΔK + (1-α) (Y/L)ΔL = 100 + 0,75*(100/40)*10 + 0,25* (100/20)*5 = 125. Как видим, равенство выполнено точно.