Критерии продуктивности матрицы

Критерии продуктивности матрицы А
Существует несколько критериев продуктивности матрицы А:

1. Матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы.
2. Для того чтобы обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:
   1. Определитель матрицы (E - A) не равен нулю, т.е. матрица (E- A) имеет обратную матрицу (E - A)^-1.
   2. Наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, т.е. решение уравнения |λE - A| = 0 строго меньше единицы.
   3. Все главные миноры матрицы (E - A) порядка от 1 до n, положительны.

Теорема. Для того чтобы линейная модель МОБ имела неотрицательное решение при любом ненулевом Y≥0 необходимо и достаточно, чтобы матрица прямых затрат A была продуктивной. Для продуктивной матрицы решение системы (1) единственное.

B = (E - A)^-1

Критерии проверки продуктивности матрицы A.

1. Первый критерий продуктивности. A – продуктивна тогда и только, когда существует B и B ≥ 0. Это означает, что матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица обратная матрица (Е - А)^-1 существует и ее элементы неотрицательны.
2. A ≥ 0 – продуктивна тогда и только, когда B имеет n положительных главных миноров.

Достаточные признаки продуктивности матрицы (Второй критерий продуктивности.):

1. Сумма элементов в каждой строке меньше единицы.
2. Сумма элементов в каждом столбце меньше единицы.

Рассмотрим три отрасли промышленности: I, II, III, каждая из которых производит свой однородный продукт и для обеспечения производства нуждается в продукции других отраслей. Процесс производства рассматривается за определенный период времени. Взаимодействие отраслей определяется матрицей А прямых затрат. Задан вектор y объемом продуктов конечного потребления.
а) определить, является ли матрица продуктивной;
б) составить уравнение межотраслевого баланса;
в) найти объем валовой продукции каждой отрасли;
г) составить матрицу потоков средств производства;

Пример №1. Показать, что матрица продуктивна.
Решение. Приведем два способа проверки продуктивности матрицы.
1) используем условие λ_max<1:

Пример №2. Выяснить, продуктивна ли модель Леонтьева, заданная условиями: х₁= 400, х₂= 900, х₁₁ =30, х₁₂ =40, х₂₁=70, х₂₂ =120. Если модель продуктивна, то:
1) определить вектор-столбец конечного продукта У, соответствующий вектору-столбцу валового выпуска ,
2) определить вектор-столбец валового выпуска Х, соответствующий, вектору-столбцу конечного продукта У =.
Решение.
1) Составим матрицу А и выясним, продуктивна ли она.
a_ij= → a₁₁=; a₁₂=
a₂₁=; a₂₂= → → max () = max () = 0,25 < 1
Следовательно, матрица A продуктивна.
2) Определим вектор-столбец У, соответствующий вектору-столбцу : → У= (E - A)X = =;
3) Определим вектор-столбец Х, соответствующий вектору-столбцу У =: → X = (E - A)^-1 У = =

Пример №3. Определить, будут ли следующие матрицы продуктивны.
Матрица A имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности (при любом j сумма элементов столбца ∑a_ij ≤ 1.
I. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат приближенно, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.
а) Матрица коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка равна: