Производственная функция Кобба-Дугласа

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для анализа производственной функции Кобба-Дугласа:

• нахождение средней фондоотдачи и средней производительности труда, вычисление предельной фондоотдачи и предельной производительности труда;
• расчет эластичности продукта и эластичности масштаба производства;
• определение предельной нормы замещения факторов производства, построение изоклины.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Свойства производственной функции

1. Производственная функция должна задаваться положительно определенной, дважды дифференцируемой по всем своим аргументам функцией.
2. Производственная функция обращается в нуль, если отсутствует хотя бы один из ресурсов x₁, x₂, ... ,x_n.
   Невозможно полностью заменить один фактор производства комбинацией других факторов. Возможно лишь частичное замещение одного фактора другими в некоторой ограниченной области.
3. С увеличением любого из ресурсов объем производства возрастает dY/dx_i.
4. При увеличении любого из ресурсов предельная эффективность является убывающей функцией.
5. Производство должно обладать свойством масштабируемости: при одновременном увеличении всех затрат в λ раз количество произведенного продукта также должно увеличиться в λ раз.

Степень однородности этой производственной функции γ = 0.404 + 0.803 = 1.207. Это означает, что при увеличении капитальных и трудовых затрат в λ раз объем производства увеличится в λ^1.207 раз, что характерно для развивающейся экономики.
Средняя фондоотдача AY_K равна отношению произведенного продукта к величине затраченного капитала:


Средняя производительность труда AY_L равна отношению произведенного продукта к величине  затраченного труда L:


Предельная фондоотдача находится как производная объема произведенного продукта Y по величине затраченного капитала K:


Предельную производительность труда, или предельный продукт труда, MY_L определим как частную производную продукта Y по величине затраченного труда L:


Эластичность продукта по фактору.
Коэффициентом эластичности продукта по i-фактору называется относительное изменение продукта, выраженное в процентах, при относительном увеличении i-фактора на 1%.
Эластичность по i-фактору равна отношению предельного продукта к среднему продукту по этому фактору.
эластичность производственной функции по фондам равна ε_K = α = 0.404
эластичность производственной функции по труду равна ε_L = β = 0.803
Если эластичность выпуска по фондам α больше эластичности выпуска по труду, экономика имеет трудосберегающий (интенсивный) рост. Если выполняется обратное неравенство и β > α, то имеет место фондосберегающий (экстенсивный) рост экономики, когда увеличение  трудовых ресурсов на 1% приводит к большему росту объема производства, нежели такое же увеличении фондов.
Эластичность масштаба производства.
Средним продуктом масштаба производства называется отношение продукта, полученное при увеличении факторов производства в λ раз, к коэффициенту масштабирования λ :

AY_λ = λ^0.2072.248K^0.404L^0.803
Предельный продукт масштаба производства определяется как прирост продукции при изменении масштаба производства на единицу:

MY_λ = 0.207 λ^0.2072.248K^0.404L^0.803
Коэффициентом эластичности масштаба производства называется отношение предельного продукта масштаба к среднему продукту масштаба:

Таким образом, коэффициент эластичности масштаба производства всегда равен степени однородности производственной функции.
Предельная норма замещения факторов производства.
Предельную норму замещения i-фактора производства j-фактором M_ij определим соотношением:

Для нашей модели:

Норма замещения фондов трудовыми ресурсами в явном виде: RST_K,L = L / K

Норма замещения трудовых ресурсов производственными фондами в явном виде: RST_L,K = K / L

Назовем изоклиной множество точек области определения производственной функции, для которых предельная норма замещения i-го фактора производства j-м постоянна.
Для наших данных получаем искомое уравнение семейства изоклин:
K = 1.988M_LK • L
Как и следовало ожидать, семейство изоклин является семейством прямых линий, выходящих из начала координат. Каждому значению предельной нормы замещения труда капиталом соответствует своя линия.

На рис. изображены две изоклины семейства для значений M_LK = 5 и M_LK = 2.