Функция полезности Стоуна

Функция спроса для конкретной функции потребительского предпочтения называется функцией Р.Стоуна и имеет вид:
Функция полезности Стоуна
где аi – минимально необходимое количество i-го продукта, которое приобретается в любом случае и не является предметом выбора, коэффициенты степени αi>0 характеризуют относительную «ценность» продуктов для потребителя, i = 1..n – вид товара.

Модель Стоуна

Модель Стоуна

где pj – цена j-го блага, I – доход (бюджет).
Функция полезности U в модели Стоуна характеризуется минимальным объемом потребления x10 , x20 и коэффициентом полезности для каждого из товаров a1 и a2, соответственно.
С учетом бюджетного ограничения, функция спроса имеет вид:

Пример. Решите задачу потребительского выбора, найдя функции спроса, при ценах благ p1=7, p2=3 и доходе I=55, со следующими функциями полезности:
U=(x1-1)3/4×(x2 –3)1/3 → max
Изобразите допустимое множество и кривые безразличия.

1. Решение через функцию Лагранжа
Для двух товаров целевая функция потребления имеет вид:
U = (x1-1)3/4•(x2-3)1/3
Вектор цен равен Р = (7; 3); величина дохода равна 55.
Предельные полезности имеют вид:


D = 55
Необходимые условия оптимума дают следующую систему уравнений (λ — множитель Лагранжа):
3/4•((x2-3)1/3)/((x1-1)1/4) = 7λ
((x1-1)3/4)/(3•(x2-3)2/3) = 3λ
7x1 + 3x2 = 55
После подстановки первого уравнения во второе получим:
((x1-1)3/4)/(3•(x2-3)2/3) = 3*(3/4•((x2-3)1/3)/((x1-1)1/4))/7
Выразив из третьего уравнения x1 и подставив в последнее равенство, будем иметь:
((-3/7•x2+48/7)3/4)/(3•(x2-3)2/3)-9/28•((x2-3)1/3)/((-3/7•x2+48/7)1/4) = 0
Решая его относительно x2 получим:
x2 = 7
При x2 = 7
x1 = 34/7 или x1 = 4,857
U(X) = 18/72/3•(21)1/4 или U(X) = 4.018

2. Решение через модель Стоуна
В нашем случае x10 =1, x20=3, α1=3/4 и α2=1/3.
Используя калькулятор, получаем:
x1= 1+0,75*(55-7*1-3*3)/(7*(0,75+0,33)) = 4,8690
x2= 3+0,33*(55-7*1-3*3)/(3*(0,75+0,33)) = 6.9722.

(4.8690-1)3/4(6.9722-3)1/3 = 4.36894

Далее составим таблицу с допустимым множеством значений и построим кривые безразличия и прямую бюджетного ограничения.

x1 4 5 6 7 8
x2бюдж 9 6,666667 4,333333 2 -0,33333
x2U=max 10,04053 6,685473 5,230723 4,480089 4,046303
x2U=3 5,279507 4,193243 3,72224 3,479207 3,338761
x2U=2 3,675409 3,353553 3,213997 3,141987 3,100374
Umax 4,36894
U1 3
U2 2

Кривые безразличия
Кривые безразличия

Задача 2.
Решите задачу потребительского выбора, найдя функции спроса, при ценах благ p1=5, p2=1 и доходе I=40, со следующими функциями полезности:
U=(x1-1)1/2(x2-6)3/4 → max
Решение.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Открыть диалог Discus Помощь в решении